Projektiv geometri er en gren af geometrien, der udspringer af ideer om keglesnit som den franske matematiker og ingeniør Girard Desargues fremlagde i en bog i 1639. Desargues var især fascineret af sin opdagelse af, at et keglesnit under en projektion afbildes i et keglesnit, og her ligger roden til projektiv geometri. Hans idéer vandt umiddelbart ikke megen genklang, fordi de kom på et tidspunkt, hvor den analytiske geometri blev populær. Uafhængigt af Desargues blev den projektive geometri etableret i 1800-t. som et felt der omhandler egenskaber ved figurer, der bevares ved projektioner eller mere generelt ved afbildninger, som afbilder linjer på linjer, såkaldte projektive transformationer.

Den projektive plan

Det er en nærliggende tanke, at to parallelle linjer i en vis forstand skærer hinanden i et uendelig fjernt punkt. På et billede, fx et fotografi, af en vandret plan vil parallelle linjer således afbildes i linjer, der går gennem samme punkt; de møder hinanden i et punkt på horisontlinjen.

Svarende til denne opstilling kan den sædvanlige plan udvides til den projektive plan, som er opnået ved, at der tilføjes et "uendelig fjernt" punkt for hvert parallelbundt af linjer. De tilføjede punkter udgør den "uendelig fjerne" linje; på fotografiet afbildes den på horisontlinjen.

I den projektive plan opnås en fuldstændig symmetri mellem punkter og linjer: Gennem to givne punkter går en og kun en linje, og to givne linjer har et og kun et punkt fælles. Dualiteten mellem punkter og linjer i den projektive plan blev præciseret af den franske matematiker Jean Victor Poncelet i et hovedværk om projektiv geometri fra 1822.

En række resultater fra sædvanlig (euklidisk) geometri (fx Desargues' og Pascals sætninger) gælder i den projektive plan uden indskrænkende forudsætninger om, at visse linjer ikke er parallelle.

Tilsvarende kan betragtes projektive rum af dimension større end 2. Delmængder af projektive rum behandles i algebraisk geometri og i differentialgeometri.

Læs mere i Lex

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig